教学内容：

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苏教版四年级上册期末复习中包含“图形王国”这部分内容，同时也包含“升和毫升”相关的内容。

教学目标：

复习本册图形内容中关于线的知识、角的知识、面的知识以及组合体的相关知识，并且渗入升与毫升知识的回顾，在复习过程中加强知识之间的联系以及整合。

在线的旋转过程中感受一维的各种变和不变；在线的角的变化中感受一维的各种变和不变；在线的面的不同中感受二维的各种变和不变；在线的组合体不一样的搭配中感受三维的各种变和不变。通过这些感受，使学生能用解构和结构的方式，分、总融合地来整合理解同类体系的图形知识。

在各种不同图形组成的问题组里，将学生的图形知识串联起来；在对同一问题进行不同深度挖掘的过程中，培育学生的深度思维。

教学重点：

在复习中提高四年级学生上学期图形知识的整合与联通能力。

教学难点：

学生用多种知识综合解决问题能力的激发。

教学过程

前言：

这是一节微课设计。在 20 分钟内，笔者把“平面上两条直线的位置关系”“角的知识”“观察物体”以及“升和毫升”相关知识进行有效串接和深度融合。让微课虽“微”却不“小”，虽“微”却不“浅”，从而使学生在这项微整合学习中激发出更多思维火花。

一

连点成线

1.学前准备

介绍所需的学习用具，提醒在观看过程中要学会暂停下来以便进行同步思考。

2.由点入线

师：瞧，这里有一个点，他向右边不断延伸，变成了什么？

生：变成了一条射线。

师：是的。从这个点又向相反方向延伸，这时变又成了什么？

生：成了一条直线。

老师在直线上点了两个点。现在思考一下，这里有多少条线段呢？又有多少条射线呢？先暂停一下，然后数一数。

生：有3条线段，6条射线。

思考

这里的教学重点在于回顾和发现射线、直线以及线段。从特征感悟方面，进行练习；从计数统计方面，进行回忆性简要复习。图形知识的生成过程自然且有序。

二

旋线定位

1.动态感受线组位置变化

师：刚才我们研究得出了一条直线。看呀，又有一条直线落下来了。这两条直线处于同一平面内。你能发现每组直线之间存在着怎样的关系呢？

生：是互相平行。

师：现在老师让一条直线开始旋转。如果你点屏幕暂停，你就能看到这两条直线的关系。同学们先观察线的旋转情况，然后再点屏幕暂停。

师问：你暂停好了吗？老师的暂停已经好了。你的两条直线的关系是不是和我的不一样呢？

生：是的。

老师截取了 10 位同学暂停时的“部分屏幕”，如下所示。同学们可以看看，说说哪些组的两条直线是相交的，哪些组的两条直线是不相交的。然后点屏幕暂停播放，进行思考。

生：我认为7号和9号是平行，也就是不相交，其余都是相交。

师：4号6号为什么是相交呢？

生：只要延长线就可以了。

老师来把这两组中的线延长一下。咦，它们真的相交啦！看来，不能被它们的表面现象所迷惑。

2.静态梳理线组特征分类

师结合同学们的图形，对同一平面内两条直线的关系进行整理。这个大圈被分成了两部分，那么这两部分分别表示什么呢？（如下图）

生：分别表示平行（也就是不相交）和相交关系。

师：这里又出现了一个小圈，表示什么呢？

生：表示这两条直线互相垂直。

师：请大家现在暂停屏幕。然后把右边的 10 组直线的关系分别填入圈中。哪些组的线是互相平行的呢？

学生独立思考，自我回答。

师：对的，第7组和9组线，两条线都是互相平行。

师：互相垂直是哪几组？

老师说她说是 1 组、3 组和 6 组，填得很正确。剩下的都应该是相交的情况，看填在这个中间位置（指向中间位置）。

老师，我认为垂直属于相交的一种情况。所以相交的线有第 2、4、5、8、10 组，还有第 1、3、6 组。

你很擅长从不同的角度去思考问题。并且，更为值得称赞的是，你还学会了进行总结。

思考

认识线之后，笔者先让一组平行线中的一条直线进行平移，以此初步感受动态平移，从而浅层次地感受平行和平移的关系；接着，在同一平面内，让一组平行线中的一条直线旋转，感受两条直线间位置变化的动态关系；然后，截取部分暂停的屏幕，随机形成各种两线位置关系，这也为后续角、面教学资源的需求做好了储备；最后，自然地过渡到对同一平面内两线位置关系进行梳理，并且在梳理过程中穿插了对位置关系特例的分析。从整体上看这部分的教学设计，笔者通过充分运用动和静相配合的方式来揭示知识，并且采用图形随机截取的形式予以呈现。这样一来，观察角度变得新颖，数据样本也更为真实，使得学生更愿意参与其中并融入到学习当中。

三

辨角妙施

1.角的分类

师说同学们很爱思考。两条直线相交后会形成很多角，他从同学们的作品里选取了三个角，分别是第 2 组线的角、第 3 组线的角和第 8 组线的角，回想一下，这些角分别是什么角呢？

生：从左边起，第一个是锐角、第二个是直角、第三个是钝角。

师：我们学习过的角就这几种吗？

生：不是的，还有平角、周角。

师：这些角分别有什么特征？

锐角的度数范围是大于 0°且小于 90°。直角的度数为 90°。钝角的度数范围是大于 90°且小于 180°。平角的度数是 180°。周角的度数是 360°。（如下图所示）平常使用的三角尺上存在一个直角以及两个锐角。

2.角的计算

（1）发现“对面”角的小秘密

师：实际上，两条直线相交之后会存在许多角。你看，你能够分别算出∠2 的度数、∠3 的度数以及∠4 的度数吗？请点击屏幕暂停一下，然后自己动手做一做。

学生独立完成。

生：我们只要用平角减一个角就可以求出相邻的另一个角。

师：是的，你做对了吗？

师：这两根直线像这样相交，你又发现什么秘密？

我发现从相对的角度来看，度数是相等的。其中，∠1 和∠3 的度数相等，∠2 和∠4 的度数也相等。

（2）巧用发现优化问题解决

师说真棒！接着看，这里有好几条直线相交了。条件是这样的，那你觉得∠4该怎么求呢？可以点屏幕暂停一下，好好想一想，然后动笔算一算。

我用平角去减∠2以及左边的直角，这样就能求出∠4等于 180°减去 32°再减去 90°，结果为 58°。

生 2 表示∠1 与∠2 的和为直角，还能通过∠1 = 90° - 32°得出∠1 为 58°。因为∠1 和∠4 是两条直线交叉后“对面”（相对）的角，所以∠1 等于∠4，且∠1 和∠4 都为 58°。他觉得这种方法更简洁，这里不需要∠3 的度数。（如下图）

老师说两位同学回答得很棒，尤其在有自己独特观点并能大胆表达的时候，这是值得夸赞的。

思考

在这个环节的教学里，前面截屏了 10 幅两线关系图。从这些图中选取 3 个角，将其自然地组合起来，从而完成了对角的分类及特征的整理和复习。在角的计算方面，笔者首先抓住“对面的角”（也就是相对的角、对顶角）的计算和关系，让学生体会到线和角所蕴含的奇妙之处。接着在后续的角的计算中，学生进行了对比和争论，他们发现用这样的规律有时能够简化角的实际问题的理解。角的计算环节被设置了，这使得学生能够从更广阔的视野去观察角，并且运用更创新的思维来计算角。学生学会了进行对比，学会了进行整合，还学会了敏锐地察觉到角的新知识，能够灵活地运用角的知识去解决问题。

四

围面成体

1.群组线条位置关系

师：照着样子去画几条相互平行的横线吧，要注意相邻两条平行线之间的距离都是 1 厘米哦。那你看看多条平行线之间存在着怎样的关系呢？

生：我发现他们都互相平行。

师：在横的平行线组上画几条垂直的平行线，然后对其进行调整，使得相邻两根平行线之间的距离都为 1 厘米。接着，你在横线和竖线之间又能发现什么呢？

我发现竖线之间的关系是互相平行的，并且竖线与横线的关系是互相垂直的。

生2：我还发现交叉形成了方格图。

出示涂色的方格图。

师：请点屏幕暂停，照样子给方格涂上颜色。

学生涂色操作。

2.画剪平面、折围立体

师说这是一个很神奇的图形，接着他现在把这个图形剪下来，然后瞧一瞧，把它折叠一下就能够变成什么呢？

教师用动画演示把图形折围变成一个正方体。

生：哇！！！成了一个正方体了，我也想试一下……

师：嗯，课后你们可以再多尝试一下，看一看还能发现什么奥秘。

思考

在进行横向和纵向等距平行线的整体垂直绘制时，逐步将方格纸画出。接着，顺势进行了涂色的组合图形的涂、剪和折的操作。从线开始，逐渐过渡到面，此时又过渡到了立方体。这个过渡非常自然，没有明显的痕迹，体现了图形知识之间的紧密联系，也使学生的形象思维和抽象思维进一步得到了整合与深化。

五

观体辨面

1.“一体多面”观察

师说平面能够折出立体，同时立体也能够看到很多平面。这里存在由几个小立方体组成的形体，需要把观察到的形状和方向连接起来。首先点击屏幕暂停。

学生操作连线。

师：好了，是不是这样？（如下图）

2.“多体同面”对比

师说：你们真的很厉害呀！那些由相同的小正方体组成了下面的三组组合体呢。要是从同一个方向去观察这些组合体，看到的情况会不会是相同的呢？（就像下面所展示的图那样）大家点屏幕暂停一下，好好想一想，然后再画一画。

上面看，有横着的三个正方形，它们都相同。前面第一个是 L 型，第二个是倒“T”字型，右边是左右相反的 L 型。从右边看，有竖着的两个正方形，它们是相同的。

3.“多体多面”发现

师：有哪些组合体，其前面和后面所看到的平面图形是相同的呢？（如上图所示）

第二个组合体的前面和后面看到的平面是倒“T”字形，另外两个组合体看到的平面是前、后相反的。

师：有没有哪些组不同面看到的是相同的？

生：第一个组合体的前面和第三个组合体后面看到是一样的……

思考

前面的教学是逐步从点深入到线，再从线深入到面，最后从面深入到体的。这里的教学是体与面相互交融，通过体的搭配对比以及视角的转换来寻找面，学生的观察和想象在三维与二维之间进行变换。这里的教学内容较为抽象，需要较强的空间想象力。所以，笔者着重进行了三重对比训练。其一，“一体多面”，也就是对一个组合体从多个面进行观察，以此唤醒学生的观察方法；其二，“多体同面”，即通过三组组合体在相同方向上进行观察，从而发现相同和不同的平面（正方体数量相同、观察角度相同，但观察结果可能相同也可能不同）；其三，“多体多面”，即多组组合体自身不同面之间进行对比，以发现组合体自身相对面观察到平面图的异同，同时还可以对不同组合体的不同面进行形态对比。

六

组面成体

1.多元分析

一个立体图形，从上面看其形状是“田”字形，从前面看其形状是“L”形。那么搭这样的立体图形，至少需要几个小立方体呢？可以点屏幕暂停，然后想一想，也可以用准备好的小方块拼一拼。（如下图）

2.数形结合

师：你思考好了吗？

从上面观察可知，最下面至少有一层，总共四个。从前面观察能得知，另外一个可放置在左后方，再结合从正上方俯看的情况，发现左后方有 2 个小方块，其余的都是 1 个小方块；同样，也有可能在第二层的左前方还有 1 个，结合从正上方俯看，能看到左前方标 2 个，其余标 1 个。因为要求最少，所以左前和左后只要出现 1 个即可。

老师说：你从立体和平面的角度进行综合思考，这很厉害呢！大家可以先暂停播放，接着动手摆一摆，然后再看一看上面的形状以及前面的形状。

思考

平面组构立体，第五部分从立体想平面，二者形成了良好的前后呼应关系。这里还渗透了这样的教学，即通过多角度观察以及合理安排观察顺序来解决问题。学生在问题解决过程中，通过摆、想以及有策略地分析，来实现个性化地自我提升图形分析能力。

七

剖体敏思

1.由问及思

师：这看起来像一个建筑吗？实际上这是一堆容器呢。每个正方体容器能装 500 毫升水。这些容器一共装了多少升水呢？要想把这个问题解决掉，需要先把什么问题给解决了呢？

生：需要知道一共多少个正方体容器。

师：请同学们点屏幕暂停，思考解决，当然可以摆一摆。

学生独立思考。

2.由表及里

生 1（师）：瞧，从上面开始看，上面的第一层很明显是 1 个。第二层的数量是 3 个。第三层比第二层多 3 个，所以第三层一共有 6 个。最后第四层比第三层多 4 个，因此第四层一共是 10 个。

一共有 20 个小立方体，因为两个 500 毫升等于 1 升，所以这 20 个小立方体是 20 个容器的一半，即 10 升。

你们的思路很清晰。我估计还有同学会通过竖着数小立方体的方式来计算总个数。只要是有序的，这种方法都是可以的，大家在课余时间可以继续对这一思考方法进行研究。

思考

此处教学聚焦“序”字：其一，在对问题进行分析时，注重采用“从问题出发”的“倒序”策略，通过分析问题去探寻必要条件；其二，在对小方块组合体数量进行分析时，注重剖析小方块数量的“序”，既可以逐层有序地计数，也可以逐列有序地想象。借助有序分析和有序观察，学生的图形想象以及思维力在有条不紊的状态下持续进步。

八