悖论之一：价值悖论

水是生活必需品，其价值很低，钻石是奢侈品，其价值很高，可是为什么水的价值比钻石低呢？

价值悖论，也称作钻石与水悖论，是一类典型的自相矛盾例子，水维持生存的价值高于钻石，然而水的市场价却低于钻石。我们尝试解释这个悖论，消费量较小时，水的边际效用大于钻石，所以两者都缺乏时，水的价值更高 。实际上，如今我们对水的消耗数量常常较大，而钻石的消耗数量远没有这么多。我们能够每天喝水喝到厌烦，然而却无法每天购买钻石。所以，大量水的边际效用比少量钻石的边际效用小。依据边际效用学派的阐释，比较钻石和水的价值并非比较二者的总价值，而是比较每一份单位的价值。水是人类生存必需品，其总体价值对人类而言再大也不为过。然而，全球水资源足够充沛，这使得水的边际效用处于相对较低水平。另一方面，急需用水的领域一旦得到满足，水就会被用于不那么紧急的用途，进而导致边际效用递减。所以，随着水的总量增加，水的总体价值会减少。钻石的情形不一样，地球上钻石数量无论有多少，市场上的钻石一直是少量，一颗钻石的用途比一杯水大很多很多，所以钻石对人更具价值，钻石价格远高于水，消费者愿意，商人也乐意，一个愿打一个愿挨。

悖论之二：祖父悖论

要是你乘坐时光机回到你祖父祖母相遇之前，然后杀死你的祖父，会出现什么情况呢？

关于时间旅行最有名的悖论，是由科幻小说作家赫内·巴赫札维勒提出的，出自他1943年的小说《不小心的旅行者》 。时间旅行者回到了自己祖父祖母结婚之前的时空，在这个时空里，时间旅行者杀死了自己的祖父，这就意味着时间旅行者自身从未降生过。然而，如果时间旅行者从未降生，那就不能穿越时空回到以前杀死自己的祖父，如此循环往复。我们假设时间旅行者的过去与现在有着因果联系，那么扰乱这种因果关系的祖父悖论，看上去好像是无法实现的。但是，有许多假说绕开了这种悖论，比如有人说过去无法改变，祖父一定已经在孙子的谋杀中幸存下来，就像之前所说的那样；还有种可能是时间旅行者开启了另一条时间线，或者进入了平行宇宙等，在这个世界里，时间旅行者从未诞生过 。

祖父悖论的另一个版本是希特勒悖论，也就是谋杀希特勒悖论，这个想法被很多科幻小说采用，主人公回到了二战之前，把希特勒给杀了，成功地阻止了二战的爆发，矛盾的地方在于，如果二战没有发生，那为何要回到二战前刺杀希特勒，时间旅行自身就把旅行的目的给消除了，所以时间旅行自身就在对自身存在的理由提出质疑 。

悖论之三：忒修斯之船悖论

一艘船的所有零件都换成新的后，还是同一条船么？

忒修斯之船悖论提出了一个问题，这个问题是，当一个整体的所有组成部分都被替换，那么这个整体是否还是原来的整体呢？

古人未能得出答案，今人以及John也在努力尝试解答这个问题 。有人声称：“船仍是原来那艘船 。”然而也有人表示：“船已不再是当初那艘船 。”依据这个理论，人体细胞每七年便会更新一回 ，这意味着，每过七年 ，难道在镜子中看到的自己都不是七年前的自己了吗 ？

悖论之四：伽利略悖论

不是所有数都是平方数，所有数的集合不会超过平方数的集合，伽利略悖论让人见识了无限集合的惊人特性，在他最后的科学著作《两种新科学》里，伽利略写出了这个关于正整数的矛盾陈述，首先，部分数属于平方数，其它数则不是，因此，所有数，包含平方数和非平方数的集合必定大于单独的平方数。然而，每个平方数都有且仅有一个对应的正数平方根，并且每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能一方比另一方更多。这个悖论虽不是最早但也是在无限集合中运用一一对应的较早例子。伽利略在书中总结指出，少、相等和多只能用于描述有限集合，却无法描述无限集合。19世纪德国数学家格奥尔格·康托尔是数集理论的开创者，他用同样的手法否定了伽利略这条限制条件的必要性，他认为在无限数集中进行有意义的比较是可行的，他还认为数和平方数这两个集合大小相等，在这种定义下，某些无限集合肯定比另一些无限集合大。伽利略对后继者在无穷数上会取得突破的预测，惊人地准确，他在书中写道，一条线段内所有点的数目，和比此更长的线段上点的数目相等，然而，伽利略没有想出康托尔的证明法，也就是线段上所有点的数比整数大 。

悖论之五：节约悖论

假设出现经济衰退的情况，全社会的所有人都选择将钱存进银行，这样一来社会总需求就会下降，进而社会总资产会变得更少。

在经济萧条时期，所有人都将钱存进银行，社会总需求会因此下降，全社会的消费水平随之降低，经济增速也会减缓，全社会的资产总数便会下滑，这就是节约悖论。该悖论指出，当个人资产增值时，全社会资产却会减少，或者进一步说，储蓄额的增加会对经济造成损害，因为传统观念认为个人储蓄对社会有益，然而节约悖论却认为大规模储蓄会给经济带来伤害 。要是所有人都把钱存入银行，那么从账面上看个人资产会增值，然而全社会总体的宏观经济趋势却会下降。

悖论之六：匹诺曹悖论

如果匹诺曹说：“我的鼻子马上会变长。”结果会怎样？

匹诺曹说：“我的鼻子马上会变长。”，这一情况中，匹诺曹悖论属于谎言悖论的一种。

谎言悖论是一种哲学和逻辑悖论，比如“这句话是假的”，若认为这句话是真的，会导致矛盾或悖论形成，若认为这句话是假的，同样会导致矛盾或悖论形成，因为若这句话是真的，按字面意思它就是假的，若这句话是假的，按字面意思它其实是真的。

匹诺曹悖论与传统谎言悖论不同，其本身未做语义预测，比如“我的句子是假的”这种情况。匹诺曹悖论和匹诺曹自身并无关联，若匹诺曹说“我生病了”，此句可判定真假，然而匹诺曹说的是“我的鼻子马上会变长”，便无法判定真假，我们无从知晓匹诺曹的鼻子究竟会不会变长。

悖论之七：理发师悖论

小城里有个理发师，他放出豪言，称自己只帮城里所有不自己刮脸的人刮脸，那么问题来了，究竟谁来给他刮脸呢？

假设你路过一家理发店，标语上写着：你会自己给自己刮脸吗？要是不会，那就请小店帮您刮脸！小店只为城里那些不会自己刮脸的人刮脸，其他人都不刮。这样简单的介绍足以让你走进这家理发店，然而随后你却发现了问题，那就是理发师会给自己刮脸吗？如果他给自己刮脸，那他就违背了只帮不自己刮脸的人刮脸的承诺，要是他不给自己刮脸，那他就得给自己刮脸，原因是他的承诺表明只帮不自己刮脸的人刮脸，这两种假设都会致使这句话讲不通，理发师悖论是由英国数学家、哲学家、社会的先知、言论自由最勇敢的斗士勃兰特·罗素教授在20世纪初提出来的。悖论的发表带来巨大难题，这改变了整个20世纪数学界的研究方向。在理发师悖论里，条件规定“帮自己刮脸”，然而只帮自己刮脸的男人的集合无法建立。即便这个条件非常简单，却无法确定理发师应不应该在这个集合内。所以两种条件都会导致矛盾。所有对理发师悖论的解答都将目光限定在可能的集合类型上。罗素提出了一套“类型理论”，该理论把语句分成不同级别，最低级别的是关于个体的语句，第二层级别的是关于个体集合的语句，依此类推。这种理论避免了出现包含所有集合却不包含自身的全集，原因是两种语句属于不同类型，也就是不同级别。策梅洛 - 弗兰克尔公理化集合论是罗素悖论解答方案中最受青睐的 。这种公理化集合论对简单集合论的随意假设加以限制，因为一旦给出一个限定条件，总能指定出恰好符合该条件的集合，然而在策梅洛 - 弗兰克尔公理化集合论里，只能从给定个体着手，从中挑选内容来形成集合。也就是说，不用预先假定存在一个包含所有集合的全集，也避免了把包含所有集合从包含自身的集合中去除（实际上并不包含）。你无需构思步骤、建立个别，再把这个分支集合归入任何给定集合。理发师悖论的一种解决办法是换成女理发师。

悖论之八：生日悖论

这么几个人里就有两个人同天生日，怎么可能？

生日问题提出了一种可能性，随机挑选一组人，其中会有两人同天生日。用抽屉原理来计算，只要人群样本达到367，存在两人同天生日的可能性就能达到100%。一年虽然只有365天，但是有366个生日，包括2月29日。然而，如果只是达到99%的概率，只需要57个人。达到50%只需要23个人。这种结论存在一个前提，那就是一年中每天生日的概率是相等的，这里要除去2月29日。

悖论之九：鸡与蛋悖论

到底是先有鸡还是先有蛋？

鸡还是蛋这个两难的因果难题，可简述为“先有鸡还是先有蛋？”，鸡与蛋悖论启发了古代哲人思考先有生命还是先有宇宙等一系列问题，传统文化认为鸡蛋悖论是循环因果悖论，找出最初成因毫无意义，人们觉得解决鸡蛋悖论的方法正是问题最本质的核心所在。一方觉得卵生动物在鸡出现之前很久就已存在，故而得出先有蛋的结论；另一方觉得先有鸡，他们觉得如今人们所说的鸡只是驯养的红原鸡的后代。然而，模糊的观点也致使了这个难题模糊的背景。要更透彻地理解这个问题的隐喻意义，

我们能够把问题理解成这样，即“X得到了Y，Y得到了X，那么是先有X还是先有Y？”，地球形成数亿年之后，鸡这个物种出现了，鸡生下了蛋。要是蛋先出现，那么是什么坐在上面孵它呢，又是谁来喂养幼年的小鸡呢？

悖论之十：失踪的正方形

为什么正方形会无故消失？

失踪的正方形谜题是一种视错觉，用于数学课，能帮助学生思考几何图形，两张图用了一些相似形状，只是位置有差异，解开谜题的关键是图中的“三角形”不是三角形，所有三角形的一条斜边是弯曲的，这些三角形的斜边看似是直线，实际不是，所以第一个图形实际占32个格子。第二个图形占了33个格子，这其中包括“失踪”的正方形。要注意蓝色与红色斜边交界处的网格点，若把它和另一张图的对应交界点作比较，会发现边缘稍有溢出或者低于格点。两张图重叠后溢出的斜边致使出现一个非常细微的平行四边形，该平行四边形占据了一格大小的面积，而这恰好就是第二张图“消失”的区域。

【图文来源】鱼知吾